# Matematyka kl. VIII — Wyrażenia algebraiczne i równania: karta tematu (poziom A)
*Podstawa 2024, dział VI „Równania z jedną niewiadomą" i V „Wyrażenia algebraiczne". Egzamin ósmoklasisty: 2–3 zadania (przekształcanie wyrażeń, równanie z treścią, wzór z „wyznacz x"). Czas: 3 bloki po 25 min.*

## Blok 1 — wyrażenia algebraiczne: redukcja, mnożenie, wyłączanie (25 min)

**Cel:** uporządkować wyrażenie do najprostszej postaci bez błędu znaku.

| Operacja | Reguła | Przykład |
|---|---|---|
| redukcja wyrazów podobnych | dodajemy tylko te same litery w tych samych potęgach | 3x + 5 − x + 2 = **2x + 7** |
| mnożenie liczby przez nawias | każdy składnik osobno | 2(3x − 4) = **6x − 8** |
| minus przed nawiasem | zmienia znak **każdego** składnika | −(x − 5) = **−x + 5** |
| mnożenie nawiasów | każdy z każdym | (x + 2)(x − 3) = x² − 3x + 2x − 6 = **x² − x − 6** |
| wyłączanie przed nawias | wspólny czynnik na zewnątrz | 6x + 9 = **3(2x + 3)** |
| wartość wyrażenia | podstaw liczbę, licz w nawiasach | 2x² − x dla x = −2: 2·4 − (−2) = **10** |

**Przykład 1 (krok po kroku).** Uprość: 4(x − 1) − 2(3 − x).
1. 4x − 4 − 6 + 2x (uwaga: −2·(−x) = +2x)
2. **6x − 10**

**Przykład 2.** (2a + 3b)² — wzór skróconego mnożenia nie jest wymagany, ale można rozpisać: (2a + 3b)(2a + 3b) = 4a² + 6ab + 6ab + 9b² = **4a² + 12ab + 9b²**.

**Zadania (po 3 min):** a) 5y − 3 + 2y + 8 b) 3(2x + 1) − (x − 4) c) (x + 5)(x + 1) d) wyłącz: 10a − 15
Odpowiedzi: a) 7y + 5, b) 5x + 7, c) x² + 6x + 5, d) 5(2a − 3).

## Blok 2 — równania: przenoszenie, nawiasy, ułamki (25 min)

**Cel:** rozwiązać równanie liniowe i **sprawdzić** wynik.

**Zasada:** to, co robisz z lewą stroną, robisz z prawą. Przenosząc składnik na drugą stronę, zmieniasz znak.

**Przykład 3.** 3x − 7 = 2x + 5 → 3x − 2x = 5 + 7 → **x = 12**. Sprawdzenie: L = 36 − 7 = 29, P = 24 + 5 = 29 ✔.

**Przykład 4 (nawiasy).** 2(x + 3) = 4 − (x − 1)
1. 2x + 6 = 4 − x + 1 = 5 − x
2. 2x + x = 5 − 6 → 3x = −1 → **x = −1/3**

**Przykład 5 (ułamki).** x/2 + x/3 = 5 → pomnóż obie strony przez 6: 3x + 2x = 30 → 5x = 30 → **x = 6**.

**Przykład 6 (proporcja).** (x + 1)/4 = 3/2 → na krzyż: 2(x + 1) = 12 → x + 1 = 6 → **x = 5**.

**Równania szczególne:** 2x + 3 = 2x + 3 → 0 = 0 → **każda liczba** (tożsamość); 2x + 3 = 2x + 5 → 0 = 2 → **brak rozwiązań** (sprzeczne).

**Zadania:** a) 5x − 4 = 3x + 10 b) 3(x − 2) = x + 8 c) x/4 − 1 = 2 d) (2x − 1)/3 = x − 3
Odpowiedzi: a) 7, b) 7, c) 12, d) 8.

## Blok 3 — zadania z treścią i wzory („wyznacz x") (25 min)

**Cel:** zamienić zdanie na równanie; przekształcić wzór, żeby wyznaczyć wskazaną literę.

**Schemat zadania z treścią:** 1) oznacz niewiadomą (co jest „mniejsze"/„pierwsze" → x), 2) zapisz resztę przez x, 3) ułóż równanie z treści, 4) rozwiąż, 5) **odpowiedz na pytanie** (nie na „ile wynosi x").

**Przykład 7.** Ojciec ma 3 razy tyle lat co syn; razem mają 48 lat. Ile lat ma syn? Syn x, ojciec 3x; x + 3x = 48 → 4x = 48 → **syn 12 lat** (ojciec 36).

**Przykład 8.** Za 3 zeszyty i długopis zapłacono 14 zł; długopis kosztuje 2 zł więcej niż zeszyt. Zeszyt x, długopis x + 2: 3x + x + 2 = 14 → 4x = 12 → **zeszyt 3 zł, długopis 5 zł**.

**Przykład 9 (procenty).** Cena po obniżce o 20% wynosi 96 zł. Cena przed? 0,8x = 96 → **x = 120 zł**.

**Przekształcanie wzorów.** P = a·h/2 → wyznacz h: pomnóż przez 2: 2P = ah → **h = 2P/a**. v = s/t → **t = s/v**. Obwód prostokąta O = 2a + 2b → **b = (O − 2a)/2**.

**Zadania:** a) Suma trzech kolejnych liczb naturalnych to 72 — jakie to liczby? b) Prostokąt: jeden bok o 4 cm dłuższy od drugiego, obwód 28 cm — boki? c) Ze wzoru F = m·a wyznacz m. d) Ze wzoru P = (a + b)·h/2 wyznacz a.
Odpowiedzi: a) 23, 24, 25; b) 5 cm i 9 cm; c) m = F/a; d) a = 2P/h − b.

## Typowe błędy (dziennik błędów)
1. Minus przed nawiasem zmienia znak tylko pierwszego składnika (źle: −(x − 5) = −x − 5).
2. Przeniesienie na drugą stronę bez zmiany znaku.
3. Mnożenie przez wspólny mianownik tylko jednej strony równania.
4. Odpowiedź „x = 12", gdy pytanie brzmiało „ile lat ma ojciec" (36).
5. Brak sprawdzenia — podstaw wynik do równania, to 30 sekund.

## Pytania kontrolne
1) Co to są wyrazy podobne? 2) −(2x − 7) = ? 3) Rozwiąż: 4x + 5 = 2x − 3. 4) Kiedy równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań? 5) x/5 = 3 → x = ? 6) Ze wzoru O = 4a wyznacz a. 7) (x + 3)(x − 3) = ? 8) Wyłącz wspólny czynnik: 12x + 8. 9) Cena po podwyżce o 10% to 55 zł — cena przed? 10) Jak sprawdzić rozwiązanie równania?

## Co wraca za 7 dni
4 równania (z nawiasem, z ułamkiem, z proporcją, sprzeczne) + 2 zadania z treścią (wiek, cena) — 12 min; fiszki: reguła minusa przed nawiasem, „przenoszę — zmieniam znak", schemat zadania z treścią.

*© Plan na Szkołę / BEZPIECZNE DANE Sp. z o.o. — opracowanie własne; podstawa programowa Dz.U. 2024 poz. 996.*