# Matematyka kl. VIII — Twierdzenie Pitagorasa: karta tematu (poziom A)
*Podstawa 2024, dział IX „Wielokąty" (pkt 3: stosuje twierdzenie Pitagorasa) i X „Oś liczbowa, układ współrzędnych" (długość odcinka). Egzamin ósmoklasisty: co roku 1–2 zadania (zamknięte i otwarte). Czas: 3 bloki po 25 min.*

## Blok 1 — twierdzenie i obliczanie przeciwprostokątnej (25 min)

**Cel:** wiedzieć, co mówi twierdzenie, rozpoznać przeciwprostokątną i policzyć ją z dwóch przyprostokątnych.

**Twierdzenie Pitagorasa.** W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych a, b i przeciwprostokątnej c zachodzi: **a² + b² = c²**.

| Pojęcie | Jak rozpoznać | Pułapka |
|---|---|---|
| kąt prosty | zaznaczony kwadracikiem ⌐ | bez kąta prostego twierdzenie **nie działa** |
| przeciwprostokątna c | **naprzeciwko** kąta prostego, **najdłuższy** bok | uczniowie wstawiają c tam, gdzie „ładna liczba" — sprawdź, gdzie jest kąt prosty |
| przyprostokątne a, b | tworzą kąt prosty | kolejność a, b nie ma znaczenia |

**Przykład 1 (krok po kroku).** Przyprostokątne 6 cm i 8 cm. Ile ma przeciwprostokątna?
1. c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
2. c = √100 = **10 cm**
Trójka 3-4-5 pomnożona przez 2 → 6-8-10. **Trójki pitagorejskie** warto znać: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 6-8-10, 9-12-15.

**Przykład 2.** Przyprostokątne 2 i 3. c² = 4 + 9 = 13, c = **√13** (zostaw pierwiastek — ok. 3,6). Na egzaminie wynik z pierwiastkiem jest poprawny; nie zaokrąglaj, jeśli nie każą.

**Zadania (po 3 min):** a) 5 i 12 → c = ? b) 1 i 1 → c = ? c) 9 i 12 → c = ? d) 7 i 24 → c = ?
Odpowiedzi: a) 13, b) √2, c) 15, d) 25.

## Blok 2 — obliczanie przyprostokątnej i sprawdzanie, czy trójkąt jest prostokątny (25 min)

**Cel:** przekształcić wzór: **a² = c² − b²** i użyć twierdzenia odwrotnego.

**Przykład 3.** Przeciwprostokątna 13, jedna przyprostokątna 5. Druga = ?
1. a² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
2. a = **12**
Najczęstszy błąd: dodawanie zamiast odejmowania (13² + 5² = 194 → √194 — źle, bo przyprostokątna nie może być dłuższa od przeciwprostokątnej).

**Przykład 4.** Drabina 5 m stoi 3 m od ściany. Jak wysoko sięga? Ściana ⊥ ziemia → trójkąt prostokątny, drabina = c. h² = 25 − 9 = 16, h = **4 m**.

**Twierdzenie odwrotne.** Jeśli a² + b² = c² (c — najdłuższy), to trójkąt **jest** prostokątny.
Sprawdź: 7, 24, 25 → 49 + 576 = 625 = 25² → **tak**. 5, 6, 8 → 25 + 36 = 61 ≠ 64 → **nie**.

**Zadania:** a) c = 17, b = 8 → a = ? b) c = 10, a = 6 → b = ? c) Czy 9, 40, 41 to trójkąt prostokątny? d) Czy 4, 5, 6?
Odpowiedzi: a) 15, b) 8, c) tak (81 + 1600 = 1681 = 41²), d) nie (16 + 25 = 41 ≠ 36).

## Blok 3 — Pitagoras w figurach: kwadrat, prostokąt, trójkąt równoboczny, układ współrzędnych (25 min)

**Cel:** znaleźć trójkąt prostokątny „ukryty" w figurze — to jest właśnie to, o co pytają na egzaminie.

| Figura | Gdzie jest trójkąt prostokątny | Wzór, który z tego wychodzi |
|---|---|---|
| kwadrat o boku a | przekątna dzieli na 2 trójkąty 45-45-90 | **d = a√2** |
| prostokąt a × b | przekątna | d² = a² + b² |
| trójkąt równoboczny o boku a | wysokość dzieli na 2 trójkąty 30-60-90 | **h = a√3 / 2**, pole = a²√3 / 4 |
| trójkąt równoramienny | wysokość na podstawę dzieli ją na pół | h² = ramię² − (podstawa/2)² |
| trapez równoramienny, romb | wysokość / przekątne (w rombie przekątne ⊥ i połowią się) | bok rombu² = (d₁/2)² + (d₂/2)² |
| odcinek w układzie współrzędnych A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) | „schodek" poziomo i pionowo | AB = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) |

**Przykład 5.** Przekątna kwadratu ma 8 cm. Bok? d = a√2 → a = 8/√2 = **4√2 cm** (≈ 5,66). Pole = a² = 32 cm² (albo szybciej: pole kwadratu = d²/2 = 64/2 = 32).

**Przykład 6.** Trójkąt równoboczny o boku 6. h = 6√3/2 = **3√3**; pole = 36√3/4 = **9√3**.

**Przykład 7.** A(1, 2), B(4, 6). AB² = (4−1)² + (6−2)² = 9 + 16 = 25 → AB = **5**.

**Zadania:** a) bok kwadratu 5 → przekątna? b) trójkąt równoboczny o boku 10 → wysokość? c) romb o przekątnych 12 i 16 → bok? d) A(−2, 1), B(1, 5) → AB?
Odpowiedzi: a) 5√2, b) 5√3, c) 10, d) 5.

**Trójkąty specjalne (do zapamiętania):** 45-45-90: przyprostokątna a, przeciwprostokątna **a√2**. 30-60-90: krótsza przyprostokątna a (naprzeciw 30°), dłuższa **a√3**, przeciwprostokątna **2a**.

## Typowe błędy (dziennik błędów)
1. Dodawanie kwadratów, gdy szukamy przyprostokątnej (ma być odejmowanie).
2. Pierwiastek z sumy „po składnikach": √(9+16) ≠ 3 + 4. Najpierw dodaj, potem pierwiastkuj.
3. Wynik d = a√2 zapisany jako 2a√ albo a·2.
4. Brak sprawdzenia, czy c jest największe — w twierdzeniu odwrotnym kwadrat największego boku po jednej stronie.
5. Zapominanie jednostki i jednostki kwadratowej w polu.

## Pytania kontrolne
1) Co mówi twierdzenie Pitagorasa i dla jakich trójkątów działa? 2) Który bok to przeciwprostokątna? 3) Przyprostokątne 9 i 12 — ile ma przeciwprostokątna? 4) Przeciwprostokątna 25, przyprostokątna 7 — druga? 5) Czy trójkąt o bokach 6, 8, 11 jest prostokątny? 6) Przekątna kwadratu o boku a — wzór? 7) Wysokość trójkąta równobocznego o boku a — wzór? 8) Odległość punktów (0,0) i (6,8)? 9) W trójkącie 30-60-90 krótsza przyprostokątna to 4 — reszta boków? 10) Wymień trzy trójki pitagorejskie.

## Co wraca za 7 dni
5 zadań mieszanych (przeciwprostokątna, przyprostokątna, kwadrat, równoboczny, układ współrzędnych) na czas — 10 min; fiszki: d = a√2, h = a√3/2, trójki 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17.

*© Plan na Szkołę / BEZPIECZNE DANE Sp. z o.o. — opracowanie własne; podstawa programowa Dz.U. 2024 poz. 996.*